Fonction cube - Définition et variations

Définition

On appelle fonction cube la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^3\).

Propriété Sens de variations

La fonction cube est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

Démonstration

Soit \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(\color{red}{a<b}\) , c'est-à-dire \(a-b<0\).
Soit \(f\) la fonction cube. On a \(f(a)=a^3\) et \(f(b)=b^3\).
On raisonne par disjonction de cas.

• On suppose que \(a\) et \(b\) sont de même signe.
  Étudions le signe de la différence \(f(a)-f(b)\) :
  \(f(a)-f(b)=a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\).
  Alors comme \(a\) et \(b\) sont de même signe par hypothèse, le produit \(ab>0\) ainsi que \(a^2\) et \(b^2\). Donc \(a^2+ab+b^2>0\).
  Comme \(a-b<0\), le produit \((a-b)(a^2+ab+b^2)\) est strictement négatif.
  Donc \(f(a)-f(b)<0\), c'est-à-dire \(\color{red}{f(a)<f(b)}\). L'ordre est conservé.
  
• On suppose que \(a\) et \(b\) sont de signes opposés. Alors \(a\leq 0\leq b\) donc en appliquant la règle des signes, on obtient \(a^3\leq0\leq b^3\) et comme \(a\ne b\), on a \(a^3<b^3\), c'est-à-dire \(\color{red}{f(a)<f(b)}\). L'ordre est conservé.
  

Dans tous les cas, on obtient pour tous réels \(a\) et \(b\) : si \(\color{red}{a<b}\) alors \(\color{red}{f(a)<f(b)}\).
L'ordre est conservé. La fonction cube est donc strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

Propriété Tableau de variations

Voici le tableau de variations de la fonction cube :

Remarques

• La fonction cube ne s'annule qu'une seule fois en \(0\).
  
• Deux réels et leurs cubes sont rangés dans le même ordre (\(-4<-2\) et \(-64>-8\)).
  
• Un réel et son cube ont le même signe.